Orden de las operaciones y paréntesis

Para qué sirve esto

¿Cuánto es $\;7 + 3 \times 4$? Si lo lees de izquierda a derecha da $40$; si multiplicas primero, da $19$. Solo una de las dos respuestas es correcta, y hace falta una regla para que todo el mundo, en cualquier parte del mundo, obtenga el mismo resultado. Esa regla es la jerarquía de las operaciones.

Es un tema pequeño pero decisivo: es la causa de muchísimos errores (incluso de calculadoras baratas) y la base para resolver cualquier operación combinada, ecuación o fórmula.

La regla: quién manda primero

Cuando aparecen varias operaciones juntas, se resuelven en este orden:

Dos detalles importantes:

• La multiplicación y la división están al mismo nivel, y también la suma y la resta. Cuando hay varias del mismo nivel seguidas, se hacen de izquierda a derecha.
• Los paréntesis siempre mandan. Sirven para cambiar el orden cuando lo necesitamos.

¿Por qué se multiplica antes de sumar?

No es un capricho. Recuerda que multiplicar es sumar repetidamente: $7 + 3 \times 4$ significa "$7$, más $3$ grupos de $4$". Por ejemplo: "tengo $7$ euros y compro $3$ paquetes de cromos a $4$ € cada uno" se escribe naturalmente $7 + 3 \times 4$, y los $3$ paquetes cuestan $12$, no $40$.

Paréntesis, corchetes y llaves

Los paréntesis cambian el orden: lo que hay dentro se calcula primero.

$$7 + 3 \times 4 = 19 \qquad\text{pero}\qquad (7 + 3) \times 4 = 10 \times 4 = 40$$

Cuando hay paréntesis dentro de otros, se usan corchetes $[\ ]$ y llaves $\{\ \}$ para distinguirlos. Siempre se empieza por los más interiores: pelar la cebolla de dentro hacia fuera.

Pasar de palabras a operaciones

Este es el primer paso hacia el álgebra: escribir con números y signos lo que dice una frase. Fíjate en qué se hace primero en la frase.

Las palabras "la suma de…", "la diferencia de…" o "el doble de…" delante de una operación indican que esa operación va entre paréntesis si luego se hace algo con ella.