Permutaciones, variaciones y combinaciones

Tres preguntas antes de contar

Hay problemas de conteo que se resuelven con el principio de multiplicación, pero se repiten tanto que tienen fórmulas propias. Para elegir la correcta, hazte tres preguntas:

1. ¿Importa el orden? ($AB$ es distinto de $BA$?)
2. ¿Entran todos los elementos o solo algunos?
3. ¿Pueden repetirse los elementos?

Variaciones: importa el orden

Se eligen $k$ elementos de $n$, y el orden importa. Sin repetir:

Con repetición (el mismo elemento puede aparecer varias veces): $\;VR_{n,k} = n^k$. Ejemplo: contraseñas de $4$ dígitos: $10^4$.

Permutaciones

Es el caso de las variaciones cuando se ordenan todos los elementos ($k = n$): $$P_n = n!$$

Con elementos repetidos

Si algunos elementos son iguales (no se distinguen), hay menos ordenaciones distintas: se divide entre el factorial de cada grupo de iguales.

$$P_n^{a,b,\ldots} = \frac{n!}{a!\,b!\cdots}$$

Combinaciones: no importa el orden

Se eligen $k$ elementos de $n$ y solo importa cuáles se eligen, no en qué orden (un comité, una mano de cartas, un boleto de lotería).

Propiedades de los números combinatorios

• $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ y $\binom{n}{1} = n$.
• Simetría: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$ (elegir los que entran equivale a elegir los que se quedan fuera). Ejemplo: $\binom{10}{8} = \binom{10}{2} = 45$.
• Regla de Pascal: $\binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k - 1} + \binom{n - 1}{k}$.

El triángulo de Pascal

Cada número es la suma de los dos que tiene encima. La fila $n$ contiene $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$.

Estos números son también los coeficientes del binomio de Newton: $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.

¿Variaciones o combinaciones?

Errores típicos