Espacios vectoriales · Vuelve a Mates

Para qué sirve esto

Ya has trabajado con distintos "objetos" que se pueden sumar entre sí y multiplicar por números: vectores del plano, matrices del mismo tamaño, polinomios, funciones. Todos comparten las mismas reglas. Un espacio vectorial es la idea abstracta que recoge lo que tienen en común.

Lo bonito: al estudiarlos a la vez, todo lo que descubras (bases, dimensión…) vale para cualquiera de ellos. Es la base del álgebra lineal, de la física cuántica, del análisis de datos (reducir dimensiones) y de la compresión de imágenes.

Necesitas: vectores, matrices y sistemas (capítulos anteriores).

La idea de espacio vectorial

Combinaciones lineales

Truco: decidir si un vector es combinación lineal de otros equivale a resolver un sistema de ecuaciones.

Dependencia e independencia lineal

Traducción práctica:

Son dependientes si uno de ellos es combinación lineal de los demás (sobra: no aporta una dirección nueva).
Son independientes si cada uno aporta una dirección nueva.

Límite de tamaño: en $\mathbb{R}^n$ nunca puede haber más de $n$ vectores independientes. Tres vectores del plano son siempre dependientes.

Bases y dimensión

Todas las bases de un mismo espacio tienen el mismo número de vectores: ese número es la dimensión.

Espacio	Base habitual (canónica)	Dimensión
$\mathbb{R}^2$	$(1, 0),\ (0, 1)$	$2$
$\mathbb{R}^3$	$(1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1)$	$3$
Polinomios de grado $\leq 3$	$1,\ x,\ x^2,\ x^3$	$4$
Matrices $2 \times 2$	las 4 matrices con un solo $1$	$4$

Coordenadas respecto de una base

Si $B = \{\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_n\}$ es una base, cada vector se escribe de una única forma $\vec{v} = a_1\vec{b}_1 + \cdots + a_n\vec{b}_n$ . Los números $(a_1, \ldots, a_n)$ son las coordenadas de $\vec{v}$ en la base $B$ .

Subespacios

Un subespacio es un subconjunto que es en sí mismo un espacio vectorial. Para comprobarlo basta ver que:

Contiene al vector cero.
Suma de dos elementos del conjunto está en el conjunto.
Múltiplo de un elemento está en el conjunto.

El rango

El rango de un conjunto de vectores (o de una matriz) es el máximo número de vectores independientes que contiene; equivale a la dimensión del subespacio que generan.

Se calcula escalonando (método de Gauss) y contando las filas no nulas.