Razones trigonométricas · Vuelve a Mates

¿Para qué sirve la trigonometría?

¿Cómo mide un topógrafo la altura de una montaña sin subirla? ¿Cómo sabe un arquitecto qué inclinación debe tener una rampa? Con ángulos. La trigonometría relaciona los ángulos de un triángulo con la longitud de sus lados.

Se basa en una idea que ya conoces: la semejanza. Todos los triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo $\alpha$ son semejantes, así que los cocientes entre sus lados son siempre los mismos, sea grande o pequeño el triángulo. Esos cocientes tienen nombre.

Los tres lados según el ángulo

En un triángulo rectángulo, los nombres de los lados dependen del ángulo agudo que estés mirando:

Hipotenusa: el lado opuesto al ángulo recto (siempre el mismo).
Cateto opuesto: el que está enfrente del ángulo $\alpha$ .
Cateto adyacente: el que está pegado al ángulo $\alpha$ (no es la hipotenusa).

Los nombres cambian si miras el otro ángulo agudo: entonces el 'opuesto' y el 'adyacente' se intercambian

Las razones trigonométricas

Valores que conviene conocer

$\alpha$	$\text{sen}\,\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$
$30°$	$\dfrac{1}{2} = 0{,}5$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$
$45°$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$	$1$
$60°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$	$\dfrac{1}{2} = 0{,}5$	$\sqrt{3} \approx 1{,}732$

Fíjate: $\text{sen}\,30° = \cos 60°$ y $\text{sen}\,60° = \cos 30°$ (el seno de un ángulo es el coseno de su complementario).

Usar la calculadora

Comprueba que está en modo grados (DEG o D en la pantalla), no en radianes (RAD).
Para hallar la razón de un ángulo: pulsa sin, cos o tan y el ángulo. Ejemplo: $\text{sen}\,35° \approx 0{,}5736$ .
Para hallar el ángulo cuando conoces la razón se usan las funciones inversas: sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ (también llamadas arcoseno, arcocoseno, arcotangente; suelen estar sobre la tecla con SHIFT o 2nd). Ejemplo: si $\tan\alpha = 0{,}75$ , entonces $\alpha = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}87°$ .

Resolver triángulos rectángulos

Resolver un triángulo es hallar todos sus lados y ángulos. Método:

Dibuja el triángulo y marca lo que sabes y lo que buscas.
Elige la razón que relaciona un dato con la incógnita (mira qué lados intervienen: opuesto, adyacente, hipotenusa).
Plantea la ecuación y despeja.
Recuerda que los dos ángulos agudos suman $90°$ .

Relaciones entre las razones

Ángulos de elevación y depresión

Ángulo de elevación: el que forma la horizontal con la línea de visión hacia arriba (mirar la cima de una torre).
Ángulo de depresión: el que forma la horizontal con la línea de visión hacia abajo.

Radianes: otra forma de medir ángulos

Además de los grados existe otra unidad muy usada en matemáticas superiores: el radián (rad). Una vuelta completa son $2\pi$ radianes, luego:

$180° = \pi \text{ rad} \qquad\qquad 1\text{ rad} \approx 57{,}3°$

Grados	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$360°$
Radianes	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$2\pi$

Para pasar de grados a radianes se multiplica por $\dfrac{\pi}{180}$ ; al revés, por $\dfrac{180}{\pi}$ .