Multiplicar y dividir fracciones

Para qué sirve esto

Multiplicar y dividir fracciones es más fácil que sumarlas (no hace falta común denominador), pero se confunde mucho porque las reglas suelen darse sin explicación: "multiplica arriba con arriba y abajo con abajo", "para dividir, da la vuelta a la segunda y multiplica". Y nadie dice el porqué. Aquí lo vamos a ver, porque cuando se entiende no se olvida y no se confunde con la suma.

Multiplicar fracciones

$$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$$

¿Por qué? Una fracción "de" otra

Multiplicar por una fracción significa tomar esa fracción de la cantidad. Por eso, $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$ es "los $\frac{2}{3}$ de $\frac{3}{4}$". Imagina que te queda $\frac{3}{4}$ de una tarta y te comes $\frac{2}{3}$ de lo que queda. Los $\frac{3}{4}$ son $3$ trozos de $4$; los $\frac{2}{3}$ de esos $3$ trozos son $2$ trozos. Has comido $2$ trozos de los $4$ de la tarta: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Y ese es justo el resultado de multiplicar:

$$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Simplificar antes de multiplicar

Se puede simplificar en cruz (un numerador con un denominador cualquiera) antes de multiplicar. Así los números son más pequeños y el resultado ya sale irreducible.

Multiplicar por un número entero

Un entero es una fracción con denominador $1$: $3 = \frac{3}{1}$.

$$3 \times \frac{2}{5} = \frac{3}{1} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$$

(El denominador no se multiplica por el entero: solo el numerador.)

Dividir fracciones

La fracción inversa

Dividir = multiplicar por la inversa

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

¿Por qué? Dividir es preguntar "¿cuántas veces cabe?". Por ejemplo, $3 : \frac{1}{4}$ es "¿cuántos cuartos caben en $3$ enteros?". En cada entero caben $4$ cuartos, así que en $3$ enteros caben $3 \times 4 = 12$. Y eso es $3 \times \frac{4}{1}$, es decir, multiplicar por la inversa de $\frac{1}{4}$.

Números mixtos

Pásalos siempre a fracciones impropias antes de multiplicar o dividir. (Al multiplicar, no se pueden multiplicar por separado enteros y fracciones.)

Problemas

Pistas para multiplicar: "de" (la mitad de…), "cada", una fracción de otra cantidad. Pistas para dividir: "¿cuántas veces cabe…?", "cuántos trozos de… salen", "repartir entre".