Razones y proporciones

Para qué sirve esto

"Por cada $2$ tazas de arroz, $5$ de agua", "un mapa a escala $1:50\,000$", "si $3$ kilos cuestan $4{,}50$ €, ¿cuánto cuestan $7$?", "repartid la herencia en partes proporcionales a lo que aportó cada uno". Todo esto es proporcionalidad: comparar cantidades y mantener esa comparación al cambiar de tamaño. Es una de las ideas más útiles de las matemáticas cotidianas, y la base de la regla de tres (siguiente tema).

Razón

Si en una clase hay $12$ chicos y $18$ chicas, la razón chicos : chicas es $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$: por cada $2$ chicos hay $3$ chicas. Como toda fracción, la razón se puede simplificar. Y el orden importa: la razón chicas : chicos es $\frac{3}{2}$.

Proporción

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. Ejemplo: kilos de fruta y precio.

El cociente precio/kilos es siempre el mismo ($1{,}5$): es la constante de proporcionalidad (aquí, el precio por kilo). En una relación directa, el doble → el doble, la mitad → la mitad.

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda dividida por ese número. Ejemplo: número de obreros y días que tardan en hacer una obra.

Ahora lo que permanece constante es el producto: $6 \times 12 = 12 \times 6 = 3 \times 24 = 9 \times 8 = 72$. El doble de obreros → la mitad de días.

Escalas

Una escala es una razón entre una medida del dibujo y la real. Una escala $1 : 50\,000$ significa que $1$ cm del mapa son $50\,000$ cm reales.

Reparto proporcional

Repartir una cantidad proporcionalmente a unos números es dársela en partes proporcionales a ellos.

Reducción a la unidad

Un método muy fiable para problemas de proporcionalidad: calcular primero el valor de una unidad y luego multiplicar.