Autovalores y autovectores · Vuelve a Mates

Para qué sirve esto

Cuando multiplicas una matriz por un vector, normalmente el vector cambia de longitud y de dirección. Pero casi siempre existen direcciones especiales que la matriz no gira: solo las estira o encoge. Esas direcciones (autovectores) y los factores de estiramiento (autovalores) revelan la esencia de la transformación.

Aplicaciones:

Google ordenaba páginas web con los autovectores de una matriz gigante (PageRank).
Física: frecuencias de vibración de puentes y estructuras, niveles de energía en mecánica cuántica.
Datos: el análisis de componentes principales (PCA) para reducir dimensiones.
Poblaciones: hacia dónde tiende un sistema que evoluciona con el tiempo.

Necesitas: matrices, determinantes, sistemas y espacios vectoriales (capítulos anteriores).

Vectores que no giran

Cómo calcular los autovalores

Partimos de $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$ , es decir, $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ . Para que este sistema homogéneo tenga soluciones distintas de cero, hace falta que la matriz $A - \lambda I$ sea singular:

Para una matriz $2 \times 2$ , esto se simplifica: $\boxed{\ \lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0\ }$ donde la traza $\operatorname{tr}A$ es la suma de los elementos de la diagonal.

Cómo calcular los autovectores

Para cada autovalor $\lambda$ , se resuelve el sistema $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ . Como $A - \lambda I$ es singular, siempre hay infinitas soluciones (todas múltiplos de un vector): cualquiera de ellas vale.

Ejemplo resueltoAutovectores de

A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

Para $\lambda = 5$ : $A - 5I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ . La primera ecuación: $-x + y = 0 \Rightarrow y = x$ . Autovector: $(1, 1)$ . Comprobación: $A(1, 1) = (5, 5) = 5(1, 1)$ ✓.

Para $\lambda = 2$ : $A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ . Ecuación: $2x + y = 0 \Rightarrow y = -2x$ . Autovector: $(1, -2)$ . Comprobación: $A(1, -2) = (4 - 2,\ 2 - 6) = (2, -4) = 2(1, -2)$ ✓.

Traza y determinante

Dos "atajos" para comprobar los autovalores (matriz de orden $n$ , con autovalores $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ ):

$\operatorname{tr}A = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n \qquad\qquad \det A = \lambda_1\cdot\ldots\cdot\lambda_n$

En el ejemplo: $2 + 5 = 7 = \operatorname{tr}A$ ✓ y $2 \cdot 5 = 10 = \det A$ ✓.

Consecuencia: $A$ tiene un autovalor $0$ $\iff \det A = 0$ ( $A$ no tiene inversa).

Diagonalización

Si una matriz $n \times n$ tiene $n$ autovectores independientes, se puede escribir $A = P\,D\,P^{-1}$ donde $D$ es la matriz diagonal de los autovalores y las columnas de $P$ son los autovectores correspondientes. Se dice que $A$ es diagonalizable.

Ventaja enorme: potencias. Como $A^n = P\,D^n\,P^{-1}$ y $D^n$ se calcula elevando cada elemento de la diagonal: $D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ D^n = \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{pmatrix}$

Ejemplo resuelto

A^3

para

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

Autovalores: $\lambda = 3$ (con $(1, 1)$ ) y $\lambda = 1$ (con $(1, -1)$ ). Entonces $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ $A^3 = P\begin{pmatrix} 27 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 28 & 26 \\ 26 & 28 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{pmatrix}$ (Comprobación multiplicando: $A^2 = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ y $A^3 = A^2A = \begin{pmatrix} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{pmatrix}$ ✓.)

Autovalores complejos

No siempre hay autovalores reales. La matriz de giro de $90^\circ$ , $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , no deja ninguna dirección fija (¡todas giran!). Su ecuación característica es $\lambda^2 + 1 = 0$ , cuyas raíces son complejas: $\lambda = \pm i$ .

Si el discriminante de $\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det A$ es negativo, los autovalores son complejos conjugados y la matriz representa un giro (posiblemente combinado con escala).